Question

19．在平面直角坐標系xOy中，圓O：x²+y²=1，P為直線l：x=t（1＜t＜2）上一點．設直線l與x軸交于點M，線段OM的中點為Q．R為圓O上一點，且RM=1，直線RM與圓O交于另一點N，則線段NQ長的最小值為$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

Answer 1

分析 設R（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{（{x}_{0}-t）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=$\frac{t}{2}$，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，于是可得直線RM的方程為：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$（x-t）．與圓O：x²+y²=1得N點橫坐標為$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，繼而可得NQ的表達式，可求得線段NQ長的最小值．

解答 解：設R（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{（{x}_{0}-t）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=$\frac{t}{2}$，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
直線RM的方程為：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$（x-t）．
與圓O：x²+y²=1得N點橫坐標為$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，
所以NQ=$\sqrt{（\frac{2t-{t}^{3}}{2}）2}+1-（\frac{3t-{t}^{3}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{t}^{4}-5{t}^{2}+4}$，
所以當t²=$\frac{5}{4}$，即t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，NQ最小為$\frac{\sqrt{14}}{8}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應用、直線的點斜式方程，突出考查方程思想與綜合運算能力，屬于中檔題．