Question

9．已知集合S={1，2，…，1997}，A={a₁，a₂，…，a_n}是S的子集，且具有下列性質(zhì)：
“A中任意兩個不同元素的和不能被117整除．”試確定A中元素個數(shù)的最大值并證明你的結論．

Answer 1

分析 集合{1，2，3，…，1997}中所有的數(shù)都除以117取余數(shù)，可分為117組，即余數(shù)分別為0，1，2，…，116，余數(shù)和為117的不能同時出現(xiàn)在A中，進而分析可得答案．

解答 解：集合{1，2，3，…，1997}中所有的數(shù)都除以117取余數(shù)，可分為117組，即余數(shù)分別為0，1，2，…，116；
其中余數(shù)為0時，有{117，234，351，…，1989}共17個，
余數(shù)為1時，有{1，118，235，…，1990}共18個；
余數(shù)為2時，有{2，119，236，…，1991}共18個；
…
余數(shù)為8時，有{8，125，242，…，1997}共18個；
余數(shù)為9時，有{9，126，243，…，1881}共17個；
余數(shù)為10時，有{10，127，244，…，1882}共17個；
…
余數(shù)為116時，有{116，233，350，…，1988}共17個；
根據(jù)題意知，余數(shù)為1和余數(shù)為116，余數(shù)為2和余數(shù)為115，…，余數(shù)為58和余數(shù)為59不能同時在A中，余數(shù)為0時只能有一個元素在A中；
所以，A最大時應是余數(shù)為1時+余數(shù)為2時+…+余數(shù)為8時+余數(shù)為9（或余數(shù)為108）時+余數(shù)為10（或余數(shù)為107）時+…+余數(shù)為58（或余數(shù)為59）時+余數(shù)為0時的一個元素，
共995個元素．
即A的元素最多為995個．

點評 本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，分類討論思想，難度中檔．