Question

9．已知集合S={1，2，…，1997}，A={a₁，a₂，…，a_n}是S的子集，且具有下列性質(zhì)：
“A中任意兩個(gè)不同元素的和不能被117整除．”試確定A中元素個(gè)數(shù)的最大值并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 集合{1，2，3，…，1997}中所有的數(shù)都除以117取余數(shù)，可分為117組，即余數(shù)分別為0，1，2，…，116，余數(shù)和為117的不能同時(shí)出現(xiàn)在A中，進(jìn)而分析可得答案．

解答 解：集合{1，2，3，…，1997}中所有的數(shù)都除以117取余數(shù)，可分為117組，即余數(shù)分別為0，1，2，…，116；
其中余數(shù)為0時(shí)，有{117，234，351，…，1989}共17個(gè)，
余數(shù)為1時(shí)，有{1，118，235，…，1990}共18個(gè)；
余數(shù)為2時(shí)，有{2，119，236，…，1991}共18個(gè)；
…
余數(shù)為8時(shí)，有{8，125，242，…，1997}共18個(gè)；
余數(shù)為9時(shí)，有{9，126，243，…，1881}共17個(gè)；
余數(shù)為10時(shí)，有{10，127，244，…，1882}共17個(gè)；
…
余數(shù)為116時(shí)，有{116，233，350，…，1988}共17個(gè)；
根據(jù)題意知，余數(shù)為1和余數(shù)為116，余數(shù)為2和余數(shù)為115，…，余數(shù)為58和余數(shù)為59不能同時(shí)在A中，余數(shù)為0時(shí)只能有一個(gè)元素在A中；
所以，A最大時(shí)應(yīng)是余數(shù)為1時(shí)+余數(shù)為2時(shí)+…+余數(shù)為8時(shí)+余數(shù)為9（或余數(shù)為108）時(shí)+余數(shù)為10（或余數(shù)為107）時(shí)+…+余數(shù)為58（或余數(shù)為59）時(shí)+余數(shù)為0時(shí)的一個(gè)元素，
共995個(gè)元素．
即A的元素最多為995個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，分類討論思想，難度中檔．