Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上不同于A、B的一點(diǎn)，∠BAC=45°，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，且VA=VB=VC，E是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OE∥平面VBC；
（Ⅱ）求證：VO⊥面ABC；
（Ⅲ）已知θ是平面VBC與平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°＜θ＜90°，若OA=OV=1，求cosθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）要證OE∥平面VBC，只需證OE平行于平面VBC內(nèi)的一條直線即可；
（Ⅱ）要證VO⊥平面ABC，只需證VO垂直于平面ABC內(nèi)的兩條相交直線即可；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面VBC、平面VOE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求cosθ的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵O，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴OE∥BC．--------------（2分）
又∵OE?面VBC，BC?面VBC．----------------------------（3分）
∴OE∥面VBC．-----------------------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：∵VA=VB，∵△ABC為等腰三角形，
又∵O為AB中點(diǎn)，∴VO⊥AB；--------------------------------（5分）
在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，△VOA≌△VOC；--------（6分）
∴∠V0A=∠VOC=90°．∴VO⊥OC；--------------------------------------（7分）
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，---------------------（8分）
∴VO⊥平面ABC．---------------------------------------------------（9分）
（Ⅲ）解：在圓O內(nèi)，OA=OC，∠CAO=45°，所以CO⊥AO．
由（Ⅱ）VO⊥平面ABC，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．-------------------------（10分）
∵OA=OB=OC=OV=1，
∴C（1，0，0），A（0，1，0），B（0，-1，0），V（0，0，1），E（

1

2

，

1

2

，0）．（11分）
∴

CB

=（-1，-1，0），

CV

=（-1，0，1）
設(shè)

m

=(x，y，z)為平面VBC的法向量，則

CB • m =0 CV • m =0.

，
∴

x+y=0 x-z=0.

，令x=1，解得

m

=(1，-1，1)．----------------------（12分）
同理，求得平面VOE的法向量為

n

=(1，-1，0)．--------------------（13分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1+1

3 × 2

=

6

3

，
∴cosθ=

6

3

．----------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直的判定定理，考查面面角，正確運(yùn)用線面平行，線面垂直的判定定理，求出平面的法向量是關(guān)鍵．