【題目】已知為正整數(shù),

1)證明:當(dāng)時(shí),

2)對(duì)于,已知,求證:;

3)求出滿足等式的所有正整數(shù).

【答案】(1)見解析;(2)見解析(3)2,3.

【解析】

1)直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;

2)對(duì)于,已知,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及放縮法即可證得

3)利用(2)的結(jié)論,以及驗(yàn)證時(shí)等式是否成立,即可求出滿足等式的所有正整數(shù).

(1)證明:

當(dāng)時(shí), ;即成立,

時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:

()當(dāng)時(shí),原不等式成立;

當(dāng)時(shí),左邊,右邊

因?yàn)?/span>所以左邊右邊,原不等式成立;

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,,

則當(dāng)時(shí),

于是在不等式兩邊同乘以

,

所以即當(dāng)時(shí),不等式也成立.

綜合()()知,對(duì)一切正整數(shù)不等式都成立.

(2)證:當(dāng)時(shí),(1)于是

(3)(2),當(dāng)時(shí),

,

,即當(dāng)時(shí),不存在滿足等式的正整數(shù).

故只需要討論的情形:

當(dāng)時(shí),等式不成立;

當(dāng)時(shí),等式成立;

當(dāng)時(shí),等式成立;

當(dāng)時(shí),為偶數(shù),為奇數(shù),,等式不成立;

當(dāng)時(shí),的情形可分析出,等式不成立.

綜上,所求的只有

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度,新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科,按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī),等級(jí)賦分規(guī)則如下:從2021年夏季高考開始,高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級(jí)考試科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為五個(gè)等級(jí),確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為,,,,等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)分,等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表:

等級(jí)

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算:

其中分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分,、分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分,表示原始分,表示轉(zhuǎn)換分,當(dāng)原始分為,時(shí),等級(jí)分分別為、

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績(jī)信息如下表:

考生科目

考試成績(jī)

成績(jī)等級(jí)

原始分區(qū)間

等級(jí)分區(qū)間

化學(xué)

75分

等級(jí)

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)?/span>,根據(jù)公式得:,

所以(四舍五入取整),小南最終化學(xué)成績(jī)?yōu)?7分.

已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué),以半期考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績(jī),其中化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:

成績(jī)

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

(1)從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取2名,求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績(jī)不小于96分的概率;

(2)從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取5名,設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績(jī)不小于96分人數(shù)為,求的分布列和期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】每年的金秋十月,越野e族阿拉善英雄會(huì)在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗騰格里沙漠舉行,該項(xiàng)目已打造成集沙漠競(jìng)技運(yùn)動(dòng)、汽車文化極致體驗(yàn)、主題休閑度假為一體的超級(jí)汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對(duì)環(huán)境的污染,某環(huán)保部門租用了特制環(huán)保車清潔現(xiàn)場(chǎng)垃圾.通過查閱近5年英雄會(huì)參會(huì)人數(shù)(萬(wàn)人)與沙漠中所需環(huán)保車輛數(shù)量(輛),得到如下統(tǒng)計(jì)表:

參會(huì)人數(shù)(萬(wàn)人)

11

9

8

10

12

所需環(huán)保車輛(輛)

28

23

20

25

29

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表所給5組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程

(2)已知租用的環(huán)保車平均每輛的費(fèi)用(元)與數(shù)量(輛)的關(guān)系為

.主辦方根據(jù)實(shí)際參會(huì)人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保車,

每輛支付費(fèi)用6000元,超出實(shí)際需要的車輛,主辦方不支付任何費(fèi)用.預(yù)計(jì)本次英雄會(huì)大約有14萬(wàn)人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)環(huán)保部門在確保清潔任務(wù)完成的前提下,應(yīng)租用多少輛環(huán)保車?獲得的利潤(rùn)是多少?(注:利潤(rùn)主辦方支付費(fèi)用租用車輛的費(fèi)用).

參考公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐,平面,已知,點(diǎn),分別為的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)在線段上,滿足平面,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知.

1)當(dāng)時(shí),解不等式

2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的值;

3)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分16分)已知是虛數(shù), 是實(shí)數(shù).

(1)求為何值時(shí), 有最小值,并求出|的最小值;

(2)設(shè),求證: 為純虛數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】點(diǎn)E、F、G分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱ABBC、B1C1的中點(diǎn),如圖所示,則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號(hào)).

以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面中最多只有三個(gè)面是直角三角形;

過點(diǎn)F、D1、G的截面是正方形;

點(diǎn)P在直線FG上運(yùn)動(dòng)時(shí),總有APDE;

點(diǎn)Q在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐AD1QC的體積是定值;

點(diǎn)M是正方體的平面A1B1C1D1內(nèi)的到點(diǎn)DC1距離相等的點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡是一條線段.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)過點(diǎn)的直線交軌跡兩點(diǎn),直線, 分別交直線于點(diǎn), ,證明以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出此定值.

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