Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中點．
（1）求異面直線AC與PB所成的角的余弦值；
（2）證明：CM∥面PAD．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）以A為原點，AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．利用向量的夾角公式即可得出．
（2）這樣證明平面PAD的法向量與

CM

的數(shù)量積為0即可．

解答： 解：以A為原點，AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
（1）∵PA=AD=DC=

1

2

，AB=1
∴D(

1

2

，0，0)，B（0，1，0），P(0，0，

1

2

)，C(

1

2

，

1

2

，0)
∴

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)．
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC | | PB |

=

1 2

( 1 2 )2+( 1 2 )2+0 0+1+(- 1 2 )2

=

10

5

∴異面直線AC與PB所成的角的余弦值為

10

5

．
（2）∵M(0，

1

2

，

1

4

)，∴

CM

=(-

1

2

，0，

1

4

)．
又∵AB⊥面PAD，∴面PAD的法向量為

AB

=（0，1，0）．
∴

AB

•

CM

=0
∵CM?面PAD，
∴CM∥面PAD．

點評：本題考查了向量的夾角公式、線面平行、向量垂直于數(shù)量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．