Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）若存在實數(shù)m，使得f（m）=2，求m的值；
（2）如果f（x）＜f（2-x）+2，求x的集合．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=

1

3

，求出f（

1

9

），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出m；
（2）由（1）得，不等式f（x）＜f（2-x）+2等價于f（x）＜f（

2x

9

-

1

9

），由函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，解出即可，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）∵f(

1

9

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2，又f（m）=2，
且函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴m=

1

9

；
（2）∵f(2-x)+2=f(2-x)+f(

1

9

)=f(

2

9

-

x

9

)，
∴f（x）＜f（2-x）+2即f（x）＜f（

2x

9

-

1

9

），
∵函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴

x＞0 2-x＞0 x＞ 2 9 - x 9

即

1

5

＜x＜2，
∴使f(x)＜f(2-x)+2的x的集合為{x|

1

5

＜x＜2}．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查基本的運算能力．