直線y=2x+2上的動點（an，an+1），n∈N*與定點（2，-3）所成直線的斜率為bn，且a1=3，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：2＜bn+1＜bn≤11；
（3）證明：
1
b1-2
+
1
b2-2
+
1
b3-2
+…
1
bn-2
＜2n．
考點：數(shù)列與不等式的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件得an+1=2an+2，從而推導出
an+1+2
an+2
=2，又a1+2=3+2=5，由此求出an=5•2n-1-2．
（2）由已知條件得bn=
an+1+3
an-2
=
5•2n+1
5•2n-1-4
=2×
5•2n-8+9
5•2n-8
=2+
18
5•2n-8
＞2．由此能證明2＜bn+1＜bn≤11．
（3）由
1
bn-2
=
5•2n-8
18
=
5
18
•2n-
4
9
，能證明
1
b1-2
+
1
b2-2
+
1
b3-2
+…
1
bn-2
＜2n．
解答： （1）解：∵直線y=2x+2上的動點（an，an+1），n∈N*，
∴an+1=2an+2，n∈N*，∴an+1+2=2（an+2），
∴
an+1+2
an+2
=2，又a1+2=3+2=5，
∴{an+2}是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，
∴an+2=5•2n-1，
∴an=5•2n-1-2．
（2）證明：∵動點（an，an+1），n∈N*與定點（2，-3）所成直線的斜率為bn，
∴bn=
an+1+3
an-2
=
5•2n+1
5•2n-1-4
=2×
5•2n-8+9
5•2n-8
=2+
18
5•2n-8
＞2．
∴{bn}是減數(shù)列，且bn＞2，（bn）max=b1=2+
18
5×2-8
=11，
∴2＜bn+1＜bn≤11．
（3）證明：∵
1
bn-2
=
5•2n-8
18
=
5
18
•2n-
4
9
，
∴
1
b1-2
+
1
b2-2
+
1
b3-2
+…
1
bn-2

=
5
18
(2+22+…+2n)-
4
9
n
=
5
18
×
2(1-2n)
1-2
-
4
9
n
=
5
9
×2n-
5
9
-
4
9
n＜2n．
∴
1
b1-2
+
1
b2-2
+
1
b3-2
+…
1
bn-2
＜2n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意分離變量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l1：（
2
-1）x+y-2=0與直線l2：（
2
+1）x-y-3=0的位置關系是（　　）
A、平行B、相交C、垂直D、重合

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=
f(x)
x
在（m，+∞）上為增函數(shù)（m為常數(shù)），則稱f（x）為區(qū)間（m，+∞）上的“一階比增函數(shù)”．
已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點處可導的函數(shù)，且xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）求證：f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”；
（2）當x1＞0，x2＞0時，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（3）已知不等式ln（l+x）＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，證明：
1
22
ln2+
1
33
ln4+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）＞
n
4(n+1)(n+2)
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，它的前n項的和為Sn，點（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上；數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn+1（an+1-an）=bn．其中n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=
an
bn
，求證：數(shù)列{cn}的前n項的和Tn＞
5
9
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ABB1⊥平面ABC，O是AB的中點．
（Ⅰ）在線段CC1上是否存在點D，使得OD∥平面A1C1B，若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若AA1=A1B=AC=BC，AA1與平面ABC所成的角為
π
4
，求二面角O-A1C1-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{bn}中，b1=1，bn=2bn-1+1（n≥2），求{bn}的通項公式；
（Ⅲ）若cn=an（bn+1），求數(shù)列{cn}前幾項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知AB為圓O的直徑，PA、PC是圓O的切線，A、C為切點，∠BAC=30°，PB交圓O于點D．
（1）求∠APC的大小；
（2）若PA=
21
，求PD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某企業(yè)主要生產(chǎn)甲、乙兩種品牌的空調(diào)，由于受到空調(diào)在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每臺空調(diào)的利潤與該空調(diào)首次出現(xiàn)故障的時間有關，甲、乙兩種品牌空調(diào)的保修期均為3年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌空調(diào)中各隨機抽取50臺，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
品牌甲乙
首次出現(xiàn)故障時間
x年		0＜x≤11＜x≤22＜x≤3x＞30＜x≤22＜x≤3x＞3
空調(diào)數(shù)量（臺）124432345
每臺利潤（千元）122.52.71.52.62.8
將頻率視為概率，解答下列問題：
（Ⅰ）從該廠生產(chǎn)的甲品牌空調(diào)中隨機抽取一臺，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
（Ⅱ）若該廠生產(chǎn)的空調(diào)均能售出，記生產(chǎn)一臺甲品牌空調(diào)的利潤為X1，生產(chǎn)一臺乙品牌空調(diào)的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）該廠預計今后這兩種品牌空調(diào)銷量相當，但由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌空調(diào)，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應該生產(chǎn)哪種品牌的空調(diào)？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，M，N分別是棱CC1，AB中點．
（1）求證：CN∥平面AMB1．
（2）求C到平面AMB1上的距離．

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