Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=2，M，N分別是棱CC₁，AB中點(diǎn)．
（1）求證：CN∥平面AMB₁．
（2）求C到平面AMB₁上的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB₁的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形CNGM是平行四邊形．由此得到CN∥平面AMB₁．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出C到平面AMB₁的距離．

解答： （1）證明取AB₁的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，
∵N，G分別是棱AB，AB₁中點(diǎn)，
∴NG∥BB₁，NG=

1

2

BB1，
又∵CM∥BB₁，CM=

1

2

BB1，
∴CM∥NG，CM=NG．
∴四邊形CNGM是平行四邊形．
∴CN∥MG，
∵CN不包含于平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁．
（2）解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知C（0，0，0），A（1，0，0），
M（0，0，1），B（0，1，2），

AC

=（-1，0，0），

AM

=(-1，0，1)，

AB

=（-1，1，2），
設(shè)平面ABM的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AM =-x+z=0 m • AB =-x+y+2z=0

，取x=1，得

m

=（1，-1，1）
∴C到平面AMB₁的距離d=

| AC • m |

| m |

=

|-1|

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．