Question

某企業(yè)主要生產(chǎn)甲、乙兩種品牌的空調(diào)，由于受到空調(diào)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每臺(tái)空調(diào)的利潤與該空調(diào)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，甲、乙兩種品牌空調(diào)的保修期均為3年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌空調(diào)中各隨機(jī)抽取50臺(tái)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

品牌	甲				乙
首次出現(xiàn)故障時(shí)間 x年	0＜x≤1	1＜x≤2	2＜x≤3	x＞3	0＜x≤2	2＜x≤3	x＞3
空調(diào)數(shù)量（臺(tái)）	1	2	4	43	2	3	45
每臺(tái)利潤（千元）	1	2	2.5	2.7	1.5	2.6	2.8

將頻率視為概率，解答下列問題：
（Ⅰ）從該廠生產(chǎn)的甲品牌空調(diào)中隨機(jī)抽取一臺(tái)，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
（Ⅱ）若該廠生產(chǎn)的空調(diào)均能售出，記生產(chǎn)一臺(tái)甲品牌空調(diào)的利潤為X₁，生產(chǎn)一臺(tái)乙品牌空調(diào)的利潤為X₂，分別求X₁，X₂的分布列；
（Ⅲ）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌空調(diào)銷量相當(dāng)，但由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌空調(diào)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的空調(diào)？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率計(jì)算公式能求出甲品牌空調(diào)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．
（Ⅱ）依題意X₁=1，2，2.5，2.7，分別求出相應(yīng)的概率，能求出X₁的分布列；X₂=1.5，2.6，2.8，分別求出相應(yīng)的概率，能求出X₂的分布列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）分別求出X₁，X₂的數(shù)學(xué)期，由E（X₁）＜E（X₂），知應(yīng)生產(chǎn)乙品牌空調(diào)．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)“甲品牌空調(diào)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，
則P(A)=

1+2+4

50

=

7

50

．（4分）
（Ⅱ）依題意X₁=1，2，2.5，2.7，
X₁的分布列如下：

X1	1	2	2.5	2.7
P	1 50	1 25	2 25	43 50

（7分）
依題意X₂=1.5，2.6，2.8，
X₂的分布列如下：

X2	1.5	2.6	2.8
P	1 25	3 50	9 10

（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得E(X1)=1×

1

50

+2×

1

25

+2.5×

2

25

+2.7×

43

50

=2.622（千元）；（11分）E(X2)=1.5×

1

25

+2.6×

3

50

+2.8×

9

10

=2.736（千元）．（12分）
所以E（X₁）＜E（X₂），
故應(yīng)生產(chǎn)乙品牌空調(diào)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，二查離散型隨要變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．