Question

16．下列五個命題：
①“a＞2”是“f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件；
②函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}$+x+1有兩個零點；
③集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是$\frac{1}{3}$；
④動圓C既與定圓（x-2）²+y²=4相外切，又與y軸相切，則圓心C的軌跡方程是y²=8x（x≠0）；
⑤若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{{x^2}+1}}$（x＞-2，a∈R）有最大值，則f（x）一定有最小值．其中正確的命題序號是①③⑤．

Answer 1

分析 利用導數(shù)法求出f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)等價命題，進而根據(jù)充要條件的定義，可判斷①；
求出函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$的零點個數(shù)，可判斷②；
求出從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率，可判斷③；
求出圓心C的軌跡方程，可判斷④；
根據(jù)函數(shù)有最大值，求出a值，進而判斷函數(shù)最小值是否存在，可判斷⑤．

解答 解：當f（x）=ax-sinx時，f′（x）=a-cosx，當a≥1時，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)，
由{a|a＞2}?{a|a≥1}，故“a＞2”是“f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件，即①正確；
當函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$時，f′（x）=-x²+1，令f′（x）=0，則x=±1，根據(jù)三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當x=-1時，f（x）的極小值$\frac{1}{3}$＞0，故f（x）僅有一個零點，故②錯誤；
集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)共有2×3=6種情況，其中這兩數(shù)之和等于4有（2，2），（3，1）兩種情況，故這兩數(shù)之和等于4的概率是$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，故③正確；
動圓C既與定圓（x-2）²+y²=4相外切，又與y軸相切，則圓心C的軌跡方程是y²=8x（x≠0）或y=0（x＜0），故④錯誤；
如果a＞0，則$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，則f（x）無最大值；如果a＜0，則$\underset{lim}{x→-2}$f（x）=+∞，則f（x）無最大值；故a=0，
即f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$（x＞-2，a∈R），當x=-1時，函數(shù)取最小值-$\frac{1}{2}$，故⑤正確；
故正確的命題序號是①③⑤；
故答案為：①③⑤

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了充要條件，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，概率，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，軌跡方程，恒成立問題等知識點，綜合性強，屬于中檔題．