Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，則該橢圓離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，1）．

Answer 1

分析 設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，∠MF₁F₂=α，∠MF₂F₁=β．△MF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin（α+β）}$，可得$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin（α+β）}$，a（sinαcosβ+cosαsinβ）=csinα+csinβ．（*）已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$，可得sinβ=$\frac{csinα}{a}$．代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得：a²=（csinα）²+$（c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα）^{2}$，利用cosα∈[-1，1），化簡整理解出即可得出．

解答 解：設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，∠MF₁F₂=α，∠MF₂F₁=β．
△MF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin（α+β）}$，
∴$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin（α+β）}$，
∴a（sinαcosβ+cosαsinβ）=csinα+csinβ．（*）
已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$，∴sinβ=$\frac{csinα}{a}$．
代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα，
∴a²=（csinα）²+$（c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα）^{2}$，
化為：cosα=$\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}-2a{c}^{3}-{c}^{4}}{2（{a}^{2}{c}^{2}+a{c}^{3}）}$∈[-1，1），
化為-1≤$\frac{1-2{e}^{2}-2{e}^{3}-{e}^{4}}{2{e}^{2}+2{e}^{3}}$＜1，0＜e＜1，
化為e²+2e-1＞0，
解得$\sqrt{2}-1$＜e＜1．
解得e∈（$\sqrt{2}$-1，1）．
故答案為：（$\sqrt{2}$-1，1）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、正弦定理、比例的性質(zhì)、三角函數(shù)化簡、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．