Question

11．求下列各題中的函數(shù)f（x）的解析式．
（1）已知函數(shù)y=f（x）滿足2f（x）+f$（{\frac{1}{x}}）$=2x，x∈R且x≠0，求f（x）；
（2）已知f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）可將式子$2f（x）+f（\frac{1}{x}）=2x$中的x換上$\frac{1}{x}$，這樣便可又得到一個關于$f（x），f（\frac{1}{x}）$的式子，這兩個式子聯(lián)立即可解出f（x）；
（2）根據(jù)f（x）為二次函數(shù)，且f（0）=1，便可設f（x）=ax²+bx+1，而根據(jù)f（x+1）=f（x）+2x便可得到2ax+a+b=2x，從而便有$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，這樣便可求出a，b，從而得出f（x）．

解答 解：（1）將式子2f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=2x①中的x換上$\frac{1}{x}$得到：
$2f（\frac{1}{x}）+f（x）=\frac{2}{x}$②；
①②聯(lián)立解出f（x）=$\frac{4}{3}x-\frac{2}{3x}$；
（2）二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1；
∴設f（x）=ax²+bx+1，則：
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2ax+a+b；
∴由f（x+1）=f（x）+2x得，ax²+bx+1+2ax+a+b=ax²+bx+1+2x；
∴2ax+a+b=2x；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-x+1．

點評 考查函數(shù)解析式的概念及求法，構(gòu)造關于f（x）的方程組求函數(shù)解析式的方法，待定系數(shù)求解析式的方法，以及多項式相等時，對應項的系數(shù)相等．