Question

給出下列命題：
①“?x₀∈R，使得x₀²-x₀+1＜0”的否定是“?x∈R，使得x²-x+1≥0”；
②

a

•

b

＞0是向量

a

，

b

的夾角為銳角的充要條件；
③設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足acosB-bcosA=

3

5

c，則

tanA

tanB

=4；
④記集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定義映射f：M→N，則從中任取一個映射滿足“由點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））構(gòu)成△ABC且AB=BC”的概率為

3

16

．
以上命題正確的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①中，由特稱命題的否定是全稱命題，判定該命題正確；
②中，由

a

•

b

＞0時，cosθ＞0，∴θ為銳角或0°，判定該命題錯誤；
③中，由acosB-bcosA=

3

5

c得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC，化簡得

tanA

tanB

=4，判定命題正確；
④中，由集合M→N的映射f有4³種，從中任取一個映射滿足由點A、B、C構(gòu)成△ABC且AB=BC的事件有4×3種，
得出概率為

12

64

，判定命題正確．

解答： 解：對于①，“?x₀∈R，使得x₀²-x₀+1＜0”的否定是“?x∈R，x²-x+1≥0”，∴命題正確；
對于②，

a

•

b

＞0時，cosθ＞0，∴θ為銳角或0°；∴不是充要條件，命題錯誤；
對于③，△ABC中，∵acosB-bcosA=

3

5

c，∴sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC=

3

5

sin（A+B）=

3

5

sinAcosB+

3

5

cosAsinB，
∴

2

5

sinAcosB=

8

5

cosAsinB，∴

tanA

tanB

=4，∴命題正確；
對于④，∵集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，∴映射f：M→N有4³=64種；
∵由點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））構(gòu)成△ABC且AB=BC，∴f（1）=f（3）≠f（2）；
∵f（1）=f（3）有四種選擇，f（2）有3種選擇，
∴從中任取一個映射滿足由點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））構(gòu)成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12種，
∴任取一個映射滿足由點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））構(gòu)成△ABC且AB=BC的概率為

12

64

=

3

16

；∴命題正確．
綜上，正確的命題有①③④．
故選：C．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了特稱命題與全稱命題，平面向量的數(shù)量積，正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，古典概型的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，是中檔題．