Question

已知函數f（x）定義域是R，滿足對任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，且A（0，-2），B（3，2）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|＜2的解集是（　�。�

• A、（1，4）
• B、（-1，2）
• C、（-∞，1）∪[4，+∞]
• D、（-∞，-1）∪[2，+∞）

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：因為A（0，-2），B（3，2）是函數f（x）圖象上的兩點，可知f（0）=-2，f（3）=2，所以不等式|f（x+1）|＜2可以變形為-2＜f（x+1）＜2，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根據對任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可得函數f（x）是R上的增函數，去函數符號，解出x的范圍就得不等式|f（x+1）|＜2的解集．

解答： 解：不等式|f（x+1）|＜2可變形為-2＜f（x+1）＜2，
∵A（0，-2），B（3，2）是函數f（x）圖象上的兩點，∴f（0）=-2，f（3）=2，
∴-2＜f（x+1）＜2等價于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），
又∵對任意的x₁＜x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函數f（x）是R上的增函數，
∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等價于0＜x+1＜3，
解得-1＜x＜2，
∴不等式|f（x+1）|＜2的解集為（-1，2）．
故選：B．

點評：本題主要考查利用函數的單調性解不等式，解決本題的關鍵是借助函數單調性去掉函數符號．