Question

過x軸正半軸上一點M（x₀，0），作圓C：x2+(y-

2

)2=1的兩條切線，切點分別為A，B，若|AB|≥

3

，則x₀的最小值為（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、3

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：如圖，當|AB|=

3

時，M在y軸右側，當M往左運動時，|AB|長變小，往右運動時，|AB|長變大，故連接CA，CB，MC，由MA及MB為圓C的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到CA與AM垂直，CB與BM垂直，由圓C的方程找出圓心坐標和圓的半徑，可得到|AC|的長，利用HL證明三角形ACM與三角形BCM全等，再利用三線合一得到CN與AB垂直，N為AB中點，可求出|AN|的長，在直角三角形中由射影定理求出|CM|的長，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的長，可得出此時M的坐標，則x₀的最小值可求．

解答： 解：如圖，

過M作圓C的兩條切線MA，MB，切點為A，B，連結CA，CB，
則△CAM、△CBM為兩個全等的直角三角形，
∴∠BCM=∠ACM，又CA=CB，∴CN⊥AB．
當|AB|取最小值

3

時，|AN|=

3

2

，
由圓C：x2+(y-

2

)2=1半徑為1，知|CA|=1，∴|CN|=

12-( 3 2 )2

=

1

2

．
在直角三角形CAM中，由射影定理得|CA|²=|CM|•|CN|，∴|CM|=

|CA|2

|CN|

=

12

1 2

=2，
在直角三角形COM中，∵|OC|=

2

，∴|OM|=

|CM|2-|OC|2

=

22-( 2 )2

=

2

．
∴x₀的最小值為

2

．
故選：B．

點評：本題考查圓的切線方程，考查了直角三角形中的勾股定理和射影定理，解答此題的關鍵是明確當|AB|最小時x₀的值最小，是中檔題．