Question

已知f（x）=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀處取最大值．以下各式正確的序號(hào)為

 

①f（x₀）＜x₀  
②f（x₀）=x₀  
③f（x₀）＞x₀  
④f（x₀）＜

1

9

  
⑤f（x₀）＞

1

9

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

，令g（x）=x+1+lnx，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即x₀，且函數(shù)的這個(gè)零點(diǎn)是y=lnx與y=x+1的交點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵f（x）=

lnx

1+x

-lnx，
∴f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

，
令g（x）=x+1+lnx，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即x₀，
且函數(shù)的這個(gè)零點(diǎn)是y=lnx與y=x+1的交點(diǎn)，
∴x₀＞1，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=（-x₀-1）•

1-1-x0

1+x0

=x₀，
故②⑤正確．
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．