Question

已知函數(shù)f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．若函數(shù)y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取到極值．
（1）求t的取值范圍；
（2）若a+c=2b²，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)極值判斷根的個數(shù)，判斷各個根是否大于零
（2）根據(jù)a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三個根，可得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc，從而可得

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc

，且a+c=2b，由此可求t的值．

解答： 解：（1）f'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有3個極值點(diǎn)，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3個根a，b，c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，
g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，（-1，3）上遞減．
∵g（x）有三個零點(diǎn)
∴g（-1）=t+8＞0，g（3）=t-24＜0
解得-8＜t＜24．
（2）∵a，b，c是f（x）的三個極值點(diǎn)，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc

，
∴b=1或-

3

2

(舍∵b∈(-1，3))，
∴

a=1-2 3 b=1 c=1+2 3

∴t=8

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三個根