Question

在△ABC中，sin（C-A）=1，sinB=

1

3

，AC=

6

，則△ABC的面積是

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由sin（C-A）=1，得到C-A=90°，表示出C，再根據(jù)sinB=

1

3

，利用誘導(dǎo)公式化簡后將表示出C代入求出cos2A的值，確定出sinA的值，再由sinC=cosA，求出sinC的值，根據(jù)b，sinB，以及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：∵sin（C-A）=1，
∴C-A=90°，即C=90°+A，
∵sinB=

1

3

，
∴sinB=sin（180°-A-C）=sin（A+C）=sin（90°+2A）=cos2A=

1

3

，
即1-2sin²A=

1

3

，即sinA=

3

3

，
∴sinC=sin（90°+A）=cosA=

1-sin2A

=

6

3

，
∵AC=b=

6

，sinB=

1

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：c=

bsinC

sinB

=

6 × 6 3

1 3

=6，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

6

×6×

3

3

=3

2

．
故答案為：3

2

點評：此題考查了正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．