Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

1

x

，對(duì)任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：f（2mx）+2mf（x）＜0可化為4mx²＜2m+

1

2m

，分m＞0，m＜0兩種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)m后化為函數(shù)的最值求解

解答： 解：f（2mx）+2mf（x）＜0，即2mx-

1

2mx

+2mx-

2m

x

＜0，
整理得，4mx²＜2m+

1

2m

，
當(dāng)m＞0時(shí)，x2＜

1

2

+

1

8m2

，不恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，x2＞

1

2

+

1

8m2

，
∵x∈[1，+∞），∴x²≥1，
∴1＞

1

2

+

1

8m2

，m＜-

1

2

．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜-

1

2

．
故答案為：m＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立，考查不等式的求解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．