Question

3．若F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上（點P異于左頂點），M在右準線上，且滿足$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$．
（1）若$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，求此雙曲線的離心率；
（2）在（1）的條件下，此雙曲線又過點N（2，$\sqrt{3}$），求雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，可得四邊形F₁OMP是平行四邊形，又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，可知F₁OMP是菱形，由此可以導出a，b，c的數(shù)量關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率；
（2）運用離心率公式和N滿足雙曲線的方程，解方程可得a，b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，
∴四邊形F₁OMP是平行四邊形，
又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，
可得cos∠POM=cos∠POF₁，
即有∠POM=∠POF₁，
則四邊形F₁OMP是菱形，
設(shè)PM與y軸交于點N，
∵|F₁O|=|PM|=c，|MN|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴P點的橫坐標為-（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=-$\frac{^{2}}{c}$，
把x=-$\frac{^{2}}{c}$代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得y=±$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-4c²+4a²），
∴|OM|=$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$．
∵四邊形F₁OMP是菱形，∴|OM|=|F₁O|，
即$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$=c．
整理得e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或e²=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．
（2）由（1）可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
代入點N（2，$\sqrt{3}$），可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{^{2}}$=1，
解方程可得，a=$\sqrt{3}$，b=3，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查雙曲線的離心率和方程，考查向量的共線和數(shù)量積的夾角公式，考查運算能力，屬于中檔題．