Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(sinωx，cosωx)，B(cos

π

6

，sin

π

6

)，ω＞0．
（1）求證：向量

OA

+

OB

與

OA

-

OB

互相垂直；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=λ

OA

•

OB

(x∈R，λ為正實(shí)數(shù)），函數(shù)f（x）的圖象上的最高點(diǎn)和相鄰的最低點(diǎn)之間的距離為

5

，且f（x）的最大值為1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0，從而可證

OA

+

OB

與

OA

-

OB

互相垂直；
（2）易求f（x）=λ

OA

•

OB

=λsin（ωx+

π

6

），依題意，λ=1，(

T

2

)2+[1-（-1）]²=(

5

)2，從而可求得T，繼而可得ω，于是知f（x）=sin（πx+

π

6

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵

OA

=（sinωx，cosωx），

OB

=（cos

π

6

，sin

π

6

），
∴|

OA

|=1，|

OB

|=1，
∴（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=|

OA

|2-|

OB

|2=0，
∴

OA

+

OB

與

OA

-

OB

互相垂直；
（2）∵f（x）=λ

OA

•

OB

=λ（sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

）=λsin（ωx+

π

6

），
∵f（x）的最大值為1，
∴λ=1．
設(shè)f（x）的最小正周期為T，
由條件知，(

T

2

)2+[1-（-1）]²=(

5

)2，
∴

T

2

=

( 5 )2-22

=1，T=2，ω=

2π

T

=π，
∴f（x）=sin（πx+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
則2k-

2

3

≤x≤2k+

1

3

（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k-

2

3

，2k+

1

3

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與正弦函數(shù)的單調(diào)性，求f（x）=λsin（ωx+

π

6

）的周期是難點(diǎn)，屬于難題．