Question

如圖，設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)準(zhǔn)線l上一點(diǎn)M（-1，0）且斜率為k的直線l₁交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在k值，使點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)？若存在，求出k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得-

p

2

=-1，由此能求出拋物線方程．設(shè)l₁的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0，由此利用根的判別式能求出k的取值范圍．
（Ⅱ）不存在k值，使點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)．由（Ⅰ）得ky²-4y+4k=0，直線PF的方程為y=

k

1-k2

(x-1)，由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

，得ky²-4（1-k²）y-4k=0，由此能推導(dǎo)出不存在k值，使點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由已知得-

p

2

=-1，∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．…（2分）
設(shè)l₁的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0．…（4分）
△=16-16k²＞0，解得-1＜k＜1，注意到k=0不符合題意，
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．…（5分）
（Ⅱ）不存在k值，使點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)．理由如下：…（6分）
由（Ⅰ）得ky²-4y+4k=0，
∴y₁+y₂=

4

k

，∴x1+x2 =

4

k2

-2，P（

2

k2

-1，

2

k

），
直線PF的方程為y=

k

1-k2

(x-1)．…（8分）
由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

，得ky²-4（1-k²）y-4k=0，
y3+y4=

4(1-k2)

k

．…（10分）
當(dāng)點(diǎn)P為線段DE的中點(diǎn)時(shí)，有

y1+y2

2

=

y3+y4

2

，
即

2

k

=

2(1-k2)

k

，
∵k≠0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
∴不存在k值，使點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn)． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線C的方程及k的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．