Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-

π

4

），求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-asinx在x∈R上有最小值為-1，求a的值；
（3）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時，關(guān)于θ的方程f（θ）-2mf（

θ

2

）+4m-3=0有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）對函數(shù)g（x）的解析式利用二倍角公式化簡整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出h（x）的解析式，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，分類討論確定a的值．
（3）整理方程，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用數(shù)形結(jié)合思想，利用拋物線的性質(zhì)求得答案．

解答： 解：（1）g（x）=f（x）+f（x-

π

4

）=cos2x+cos（2x-

π

2

）=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
∴當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）h（x）=f（x）-asinx=cos2x-asinx=1-2sin²x-asinx，
令sinx=t，則-1≤t≤1，
h（t）=-2t²-at+1，函數(shù)為開口向下，對稱軸為t=-

a

4

的拋物線，
當(dāng)-

a

4

≤-1時，即a≥4時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)減，h（t）min=h（1）=-2-a+1=-1，求得a=0，與a≥4矛盾舍去．
當(dāng)-

a

4

≥1時，即a≤-4，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)增，h（t）min=h（-1）=-2+a+1=-1，求得a=0，與a≤-4矛盾舍去
當(dāng)0≥-

a

4

≥-1時，即0≤a≤4，h（t）min=h（1）=-2-a+1=-1，求得a=0
當(dāng)1≥-

a

4

≥0時，即-4≤a≤0時，h（t）min=h（-1）=-2+a+1=-1，求得a=0，
綜合可知a=0．
（3）f（θ）-2mf（

θ

2

）+4m-3=cos2θ-2mcosθ+4m-3=2cos²θ-2mcosθ+4m-2=0，
令cosθ=t，則-1≤t≤1則2t²-2mt+4m-2=0，在[-1，1]有實數(shù)解，
即函數(shù)f（t）=2t²-2mt+4m-2的圖象與x軸有交點，
①當(dāng)有一個交點時，需

△=4m2-8(4m-2)=0 -1≤ m 2 ≤1

或

f(1)=2-2m+4m-2＜0 f(-1)=2+2m+4m-2＞0

或

f(1)=2-2m+4m-2＞0 f(-1)=2+2m+4m-2＜0

解得m的范圍為∅，
②當(dāng)有兩個交點時，需

△=4m2-8(4m-2)＞0 f(1)＞0 f(-1)＞0 -1＜ m 2 ＜1

，解得0＜m＜4-2

3

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，換元法思想，一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等問題．