Question

已知：a+b+c=1，a，b，c＞0．
（1）求證：abc≤

1

27

；
（2）求證：a2+b2+c2≥

3	abc

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接利用均值不等式即可證明；
（2）利用（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，變形可得3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，再利用（1）的結(jié)論即可得出．

解答： 證明：（1）∵a+b+c=1，a，b，c＞0．∴1≥3

3	abc

，∴abc≤

1

27

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

取等號(hào)．
（2）∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取等號(hào)．
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，∴a2+b2+c2≥

1

3

，
由（1）可得abc≤

1

27

，
∴

1

3

≥

3	abc

．
∴a2+b2+c2≥

3	abc

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了均值不等式及3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．