Question

【題目】在直角坐標系中，拋物線與直線 交于，兩點.

（1）當時，分別求拋物線在點和處的切線方程；

（2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 過點和點的切線方程分別為.(2)存在點，理由見解析

【解析】

（1）將直線l的方程代入拋物線C的方程，求出點M、N的坐標，再聯(lián)立方程，判別式為零，可求出拋物線C在點M、N處的切線方程；

（2）設點P為符合題意的點，將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式計算直線PM和直線PN的斜率之和為0，求出的值，即可解決該問題．

（1）由題意知時，聯(lián)立，

解得，．

設過點的切線方程為，

聯(lián)立得：，

由題意：，即，解得，

根據(jù)對稱性，過點的切線斜率為，

所以過點和點的切線方程分別為.

（2）存在符合題意的點，證明如下：

設點為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，得，故，，

從而．

當時，有，則直線與直線的傾斜角互補，

故，所以點符合題意．