Question

數(shù)列{a_n}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）若S_n＞t•n-4對(duì)于n∈N^*恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分情況討論，n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，a_n的取值即可．
（2）分情況討論，n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)分別求和，求和是利用分組求和法．
（3）恒成立問(wèn)題要先分離變量，后利用基本不等式解決．

解答： 解：（1）∵an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=0（n∈N^_*），
即a_n+2=a_n
∵a₁=1，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=2（n∈N₊），
即a_n+2=a_n+2（n∈N₊），
∵a₂=2，
∴a_2k=2+（k-1）2=2k
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=n
∴a_n的通項(xiàng)公式為an=

1， n為奇數(shù) n， n為偶數(shù)

（2）由（1）可知，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=1+2+1+4+…+1+n=

n

2

+

n 2 (2+n)

2

=

n2+4n

4

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=Sn-1+1=

(n-1)2+4(n-1)

4

+1=

(n+1)2

4

故Sn=

(n+1)2 4 ， n為奇數(shù) n2+4n 4 ， n為偶數(shù)

（3）∵S_n＞t•n-4對(duì)于n∈N^*恒成立，
∴由（2）可知
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即

n2+4n

4

＞t•n-4恒成立
不等式轉(zhuǎn)化為t＜

n2+4n+16

4n

∵

n2+4n+16

4n

=

n

4

+

4

n

+1≥2+1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào)
∴t＜3
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即

(n+1)2

4

＞t•n-4恒成立
不等式轉(zhuǎn)化為t＜

n2+2n+17

4n

，
∵

n2+2n+17

4n

=

n

4

+

17

4n

+

1

2

≥

17

2

+

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)n=

17

時(shí)取等號(hào)，
∵n∈N^*，
∴當(dāng)n=3時(shí)

n2+2n+17

4n

=

8

3

，
當(dāng)n=5時(shí)

n2+2n+17

4n

=

13

5

取最小值為

13

5

∴t＜

13

5

綜上所述，t的取值范圍是t＜

13

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，以及分類(lèi)討論的思想，綜合運(yùn)用了逐差求和法和分組求和法，難度較大．