Question

已知向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），其中ω≠0且

m

⊥

n

，又函數(shù)f（x）的圖象任意兩相鄰對稱軸間距為

3

2

π．
（1）求ω的值；
（2）探討函數(shù)f（x）在（-π，π）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知，f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由其周期T=

2π

2ω

=3π，即可求得ω的值；
（2）x∈（-π，π）⇒-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，利用-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

π

2

可求得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間，利用

π

2

≤

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

可求函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意，得

m

•

n

=0，
∴f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）
=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．
根據(jù)題意知，函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，
又ω＞0，
∴ω=

1

3

；
（2）由（1）知f（x）=sin（

2

3

x+

π

6

）+

1

2

，
∵x∈（-π，π），∴-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，
當-

π

2

＜

2

3

x+

π

6

＜

π

2

，即-π＜x＜

π

2

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當

π

2

≤

2

3

x+

π

6

＜

5π

6

，即

π

2

≤x＜π時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上可知，函數(shù)f（x）在（-π，

π

2

）上單調(diào)遞增，在[

π

2

，π）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查向量數(shù)量積的坐標運算，烤箱運算求解能力，屬于中檔題．