Question

已知0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=4x²-4ax+（a²-2a+2）有最小值3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：這是一個(gè)定區(qū)間、動(dòng)函數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為4，圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x=

a

2

，需要按對稱軸與定義域的關(guān)系進(jìn)行分類討論．

解答： 解：①當(dāng)

a

2

≤0即a≤0時(shí)，函數(shù)y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，2]上是增函數(shù)，
所以ymin=a2-2a+2，
由a²-2a+2=3，解得a=1+

2

或a=1-

2

，
∵a≤0，∴a=1-

2

，
②當(dāng)0＜

a

2

≤2時(shí)，即0＜a≤4時(shí)，函數(shù)y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，

a

2

]上是減函數(shù)，在[

a

2

，2]上是增函數(shù)，
所以ymin=4×(

a

2

)2-4a×

a

2

+a2-2a+2=-2a+2，
 由=-2a+2=3，解得a=-

1

2

，
∵0＜a≤4，∴a=-

1

2

 舍去； 
③當(dāng)

a

2

＞2即a＞4時(shí)，函數(shù)y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，2]上是減函數(shù)，
所以ymin=4×2

2

-4a×2+a2-2a+2=a²-10a+18，
由a²-10a+18=3，解得a=5+

10

或a=5-

10

，
∵a＞4，∴a=5+

10

，
綜上可知，a=1-

2

或a=5+

10

．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的最值問題，考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．