Question

如圖，C，D是兩個(gè)小區(qū)的所在地，C，D到一條公路AB的垂直距離CA=1km，DB=2km，AB兩端之間的距離為4km，某公交公司將在AB之間找一點(diǎn)N，在N處建造一個(gè)公交站臺(tái)．
（1）設(shè)AN=x，試寫出用x表示∠CND正切的函數(shù)關(guān)系式，并給出x的范圍；
（2）能否找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N到C，D兩小區(qū)的距離之和（NC+ND）最小，若能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出x的值；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把∠CNA與∠DNB的正切值用含有x的代數(shù)式表示，再把∠CND的正切值用含有x的代數(shù)式表示；
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)DM，交AB于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求的點(diǎn)．

解答： 解：（1）由題知，令∠CNA=α，∠DNB=β，
則tanα=

1

x

，tanβ=

2

4-x

，…（2分）
所以tan∠CND=-tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

…（6分）
=

4+x

x2-4x+2

（0＜x＜4，且x≠2±

2

）  …（8分）
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)DM，交AB于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求的點(diǎn)．…（10分）
在AB上任取一不同于點(diǎn)N的點(diǎn)P，邊結(jié)CP，DP，
則PC+PD=PM+PD＞DM，所以在點(diǎn)N處NC+ND的值最小．…（12分）
如圖設(shè)AN=x，此時(shí)∠CND=∠CNA，
即

4+x

x2-4x+2

=

1

x

，
所以x=

1

4

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是中檔題．