Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）證法1：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，過DE構(gòu)造平行四邊形，使其與平面ABC相交，則可得DE與交線平行，所以進(jìn)一步可得DE∥平面ABC；
證法2：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，因?yàn)镈、E均為中點(diǎn)，所以構(gòu)造平行線的時(shí)候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”．
（II）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時(shí)候題目中沒有現(xiàn)成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉(zhuǎn)化一下，如欲證B₁F⊥AF，可以先證明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易證明B₁F⊥FE；
（III）過F做FM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M，說明∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，然后求二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答： 證明：（I）方法1：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連接DG，

∵D為B₁A的中點(diǎn)，
∴DG∥EC，且DG=

1

2

EC，
又∵E為C₁C的中點(diǎn)，
∴四邊形DECG是平行四邊形，
∴DE∥GC，
又∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
方法2：連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點(diǎn)P，連接BP．

由E為C₁C的中點(diǎn)，A₁C₁∥CP，
可證A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中點(diǎn)，
∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
（II）∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，
∵AB=AA₁=2，
∴B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，
∴B₁F⊥平面AEF
（III）過F做FM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M，

∵B₁F⊥平面AEF，由三垂線定理可證B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可證EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM=

10

5

，
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，
∴cos∠B₁MF=

6

6

，
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面的垂直的判定，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．