Question

如圖，直線(xiàn)l⊥x軸，從原點(diǎn)開(kāi)始向右平行移動(dòng)到x=8處停止，它掃過(guò)△AOB所得圖形的面積為S，它與x軸的交點(diǎn)為（x，0）．
（1）求函數(shù)S=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)S=f（x）的定義域、值域；
（3）作函數(shù)S=f（x）的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)x的取值情況進(jìn)行討論，然后，寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；
（2）根據(jù)（1），借助于函數(shù)的單調(diào)性求解值域問(wèn)題；
（3）結(jié)合分段函數(shù)的特點(diǎn)，按段作出它們的圖象．

解答： 解：（1）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，
s=f（x）=S_△OAB-

1

2

(8-x)2
=

1

2

×8×4-

1

2

(8-x)2
=16-

1

2

(x-8)2，
所以函數(shù)的解析式為：
s=f(x)=

1 2 x2    ， x∈[0，4] 16- 1 2 (x-8)2  ， x∈(4，8]

．
（2）根據(jù)（1），得到函數(shù)的定義域?yàn)閇0，8]，
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
在[0，4]上為增函數(shù)，
所以，s∈[0，8]；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，
s=f（x）=16-

1

2

(x-8)2，
在（4，8]為增函數(shù)，
∴s∈（8，16]，
綜上，函數(shù)的值域?yàn)閇0，16]．
（3）函數(shù)圖象如下圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查分段函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及其運(yùn)用等知識(shí)，屬于中檔題，考查分類(lèi)討論思想．