Question

12．已知遞增等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•3ⁿ}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₄²=a₁₀計(jì)算可知公差d=$\frac{1}{3}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（II）通過(guò)（I）可知a_n•3ⁿ=（n+2）•3^n-1，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由條件知a₄²=a₁₀，即（1+3d）²=1+9d，
解得：d=$\frac{1}{3}$或d=0（舍），
∴a_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{2}{3}$；
（II）∵a_n•3ⁿ=（n+2）•3^n-1，
∴S_n=3•3⁰+4•3+5•3²+…+（n+2）•3^n-1，
3S_n=3•3+4•3²+…+（n+1）•3^n-1+（n+2）•3ⁿ，
錯(cuò)位相減得：-2S_n=3+3+3²+…+3^n-1-（n+2）•3ⁿ
=3+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+2）•3ⁿ
=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{3}{2}$）•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{2n+3}{4}$•3ⁿ-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．