Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，△ABD為正三角形，EB=ED，CB=CD．
（1）求證：EC⊥BD；
（2）若AB⊥BC，M，N分別為線段AE，AB的中點，求證：平面DMN∥平面BEC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BD的中點O，連接OE，OC，證明BD⊥平面EOC，即可證明EC⊥BD；
（2）證明DN∥平面BEC；MN∥平面BEC，利用面面平行的判定定理，即可得證．

解答： 證明：（1）取BD的中點O，連接OE，OC，則
∵EB=ED，CB=CD，
∴BD⊥EO，BD⊥CO，
∵EO∩CO=O，
∴BD⊥平面EOC，
∵EC?平面EOC，
∴EC⊥BD；
（2）∵△ABD為正三角形，N為AB的中點，
∴DN⊥AB，
∴AB⊥BC，
∴DN∥BC，
∵DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC；
∵M，N分別為線段AE，AB的中點，
∴MN∥BE，
∵MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
∵DN∩MN=N，
∴平面DMN∥平面BEC．

點評：本題主要考查平面圖形中的線線關(guān)系，線面平行和線面垂直的判定寶理．熟練掌握線面、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．