Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為M．點(diǎn)A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，D（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），-x₀＜x₁＜x₀＜x₂，直線BC平行于軌跡M在點(diǎn)D處的切線．
（Ⅰ）求軌跡M的方程；
（Ⅱ）證明：∠BAD=∠CAD．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線的傾斜角

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心為（x，y），由直線與圓相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得軌跡M的方程；
（Ⅱ）由題意，要證∠BAD=∠CAD，可證k_AC=-k_AB，設(shè)點(diǎn)D（x₀，

1

4

x₀²），則得k_BC=

1

2

x₀，設(shè)點(diǎn)C（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），則k_BC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，即x₁+x₂=2x₀，再利用斜率公式可得k_AC+k_AB=0，從而得證．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)動(dòng)圓圓心為（x，y），依題意得，

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以軌跡M的方程為x²=4y．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得x²=4y，即y=

1

4

x2，則y′=

1

2

x．
設(shè)點(diǎn)D（x₀，

1

4

x₀²），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為k_BC=

1

2

x₀，
由題意知點(diǎn)A（-x₀，

1

4

x₀²）．設(shè)點(diǎn)C（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），
則k_BC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，即x₁+x₂=2x₀，
同理k_AC=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
所以k_AC+k_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=0，即k_AC=-k_AB，
所以直線AC和直線AB的傾斜角互補(bǔ)，又AD與x軸平行，
所以∠BAD=∠CAD．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力等．