Question

8．設函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x-2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）至少有2個不同的實數根，至多有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（{1，\root{3}{4}}）$
• D． $[{\root{3}{4}，2}）$

Answer 1

分析 由題意可知f（x）是定義在R上的周期為4的函數；從而作函數f（x）與y=log_a（x+2）的圖象，從而結合圖象解得．

解答 解：∵對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）是定義在R上的周期為4的函數；
作函數f（x）與y=log_a（x+2）的圖象如下，
，
結合圖象可知，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2+2）≤3}\\{lo{g}_{a}（2+6）＞3}\end{array}\right.$，
解得，$\root{3}{4}$≤a＜2；
故選D．

點評 本題考查了數形結合的思想應用及方程的根與函數的圖象的交點的關系應用．