Question

已知圓C的方程是：x²+y²=4，P是圓C上任意一點，過點P作PD⊥x軸于點D，M為PD的中點．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）若直線l與軌跡E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，已知

m

=(x1，2y1)，

n

=(x2，2y2)，若

m

⊥

n

．試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,平面向量數(shù)量積的運算,軌跡方程

專題：綜合題

分析：（1）確定M，P坐標之間的關系，利用相關點法可求點M的軌跡方程；
（2）分斜率存在與不存在，同時借助于韋達定理，利用向量垂直，分別表示三角形的面積，即可求得結論．

解答： 解：（1）設M（x，y），則P（x，2y），代入圓C的方程是：x²+y²=4，可得：x²+4y²=4
即點M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）①當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂，y₁=-y₂，則由

m

⊥

n

可得x₁x₂+4y₁y₂=0
即x12-4

y

2 1

=0，而

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，由上兩式可解得x1=±

2

，y1=±

2

2

，
此時S△AOB=

1

2

|x1|•|2y1|=

1

2

•

2

•2•

2

2

=1為定值；…（8分）
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y，并整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
則△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（1+4k²-m²），
x1+x2=-

8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

，（Ⅰ）…（10分）
由

m

⊥

n

可得x₁x₂+4y₁y₂=0，即x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0
所以(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
將（Ⅰ）代入得：(1+4k2)•

4m2-4

1+4k2

+4km•

-8km

1+4k2

+4m2=0，化簡可得：1+4k²=2m²
由弦長公式可得|AB|=

1+k2

•

16(1+4k2-m2)

1+4k2

=

1+k2

•

16•m2

2m2

=

4• 1+k2 •|m|

2m2

由點到直線的距離公式可得原點O到直線AB的距離為d=

|m|

1+k2

所以△AOB的面積S△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

4• 1+k2 •|m|

2m2

•

|m|

1+k2

=1為定值
綜上知，△AOB的面積總為定值1．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．