Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且3a₁，2a₂，a₃成等差數(shù)列．
（1）若a₂₀₁₁=2011，試求a₂₀₁₃的值；
（2）若a₁=3，公比q≠1，設b_n=

1

lnan•lnan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得4a₁q=3a₁+a₁q²，解得q=1或q=3．由此能求出結果．
（2）由（1）知a_n=3ⁿ，從而得到b_n=

1

lnan•lnan+1

=

1

(ln3)2

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且3a₁，2a₂，a₃成等差數(shù)列．
∴4a₁q=3a₁+a₁q²，整理，得q²-4q+3=0，解得q=1或q=3．
∵a₂₀₁₁=，
∴a₂₀₁₃=2011或aa₂₀₁₃=2011×9=18099．
（2）∵a₁=3，公比q≠1，由（1）知a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
則b_n=

1

lnan•lnan+1

=

1

nln3•(n+1)ln3

=

1

(ln3)2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

(ln3)2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

(ln3)2

(1-

1

n+1

)
=

n

(n+1)(ln3)2

．

點評：本題考查數(shù)列的第2013項的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．