Question

已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=-

1

3

(an-1)(n∈N*)．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）若bn=anlog

1

4

an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，分別取n=1和n=2，利用遞推思想能求出a₁、a₂的值．
（2）依次求出前4項(xiàng)，總結(jié)規(guī)律，由此猜想an=

1

4n

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公比都是

1

4

的等比數(shù)列．
（3）由bn=anlog

1

4

an=

n

4n

，利用錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）解：∵各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
且Sn=-

1

3

(an-1)(n∈N*)，
∴a1=S1=-

1

3

(a1-1)，解得a1=

1

4

．
S2=

1

4

+a2=-

1

3

(a2-1)，解得a₂=

1

16

．
（2）證明：S3=

5

16

+a3=-

1

3

（a₃-1），解得a3=

1

64

，
S₄=

21

64

+a4=-

1

3

（a₄-1），解得a4=

1

256

．
由此猜想an=

1

4n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，an=

1

4

，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=

1

4k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
Sk+1=

1

4

+

1

42

+…+

1

4k

+ak+1=-

1

3

（a_k+1-1），
∴

1 4 (1- 1 4k )

1- 1 4

+a_k+1=-

1

3

（a_k+1-1），
解得ak+1=

1

4k+1

，也成立．
∴an=

1

4n

．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公比都是

1

4

的等比數(shù)列．
（3）解：bn=anlog

1

4

an=

1

4n

•log

1

4

(

1

4n

)=

n

4n

，
∴T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，①

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n+1

，②
①-②，得：

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

(1-

1

4n

)-

n

4n+1

，
∴T_n=

4

9

-

4+n

9•4n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．