Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線為l：3x-y=0，若x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件得到切點坐標，以及f′（1）=3，f（1）=3，f′（

2

3

）=0，聯(lián)立方程組，即可求y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用列表法，即可求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由題意可知切點坐標為（1，3），
f′（1）=3，即3+2a+b=3且f（1）=3，即1+a+b+c=3，
∵x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
∴f′（

2

3

）=0，即

4

3

+

4

3

a+b=0，
解得a=2，b=-4，c=4，即f（x）=x³+2x²-4x+4．
（2）由（1）知f′（x）=3x²+4x-4，令f′（x）=3x²+4x-4=0．解得x=-2或x=

2

3

．

x	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3 ．	（ 2 3 ，1）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=12
在x=

2

3

．處取得極小值f（

2

3

）=

68

27

，
又∵f（-3）=-27+18+12+4=7，f（1）=1+2-4+4=3，
綜上所述f（x）_max=12，f（x）_min=f（

2

3

）=

68

27

．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用列表法是解決本題的關(guān)鍵常用方法．