Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．若b²=ac，則

sinA+cosAtanC

sinB+cosBtanC

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：原式利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，整理后利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用正弦定理化簡得到結(jié)果，根據(jù)b²=ac，分兩種情況考慮：當(dāng)a≤b≤c時，得到

b

a

≥1，求出

b

a

的范圍；當(dāng)當(dāng)c≤b≤a時，同理得到

b

a

的范圍，即可確定出所求式子的范圍．

解答： 解：原式=

sinAcosC+cosAsinC

sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)

sin(B+C)

=

sinB

sinA

=

b

a

，
由b²=ac，分兩種情況考慮：當(dāng)a≤b≤c時，得到

b

a

≥1，
∵a+b＞c，
∴a（a+b）=a²+ab＞ac=b²，
兩邊除以a²，得：1+

b

a

＞（

b

a

）²，
解得：1≤

b

a

＜

1+ 5

2

；
當(dāng)c≤b≤a時，同理得到

5 -1

2

＜

b

a

≤1，
綜上，

sinA+cosAtanC

sinB+cosBtanC

的取值范圍是（

5 -1

2

，

5 +1

2

）．
故答案為：（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．