Question

已知f（x）=log_ax-x+1，（a＞0，且a≠1），如f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，則a的取值集合為

 

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Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，即log_ax≤x-1對x∈（0，+∞）恒成立，即函數(shù)y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，分0＜a＜1時和a＞1時，討論滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=log_ax-x+1，
若f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，
即log_ax≤x-1對x∈（0，+∞）恒成立，
即函數(shù)y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，
當0＜a＜1時，函數(shù)y=log_ax與y=x-1的圖象如下圖所示：

不滿足要求：
當a＞1時，函數(shù)y=log_ax與y=x-1的圖象如下圖所示：

若要滿足條件，則函數(shù)y=log_ax與y=x-1切于（1，0）點，
即y′|_x=1=

logae

x

=log_ae=1，
解得：a=e，
綜上所述：a的取值集合為：{e}，
故答案為：{e}

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中將已知中f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，是解答的關(guān)鍵．