Question

已知圓C過定點(diǎn)A（0，1），圓心C在拋物線x²=2y上，M、N為圓C與x軸的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)圓心C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長．
（2）當(dāng)圓心C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)圓心C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值，并求出此時(shí)圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，圓的方程，再利用勾股定理求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長；
（2）求出M、N的坐標(biāo)，再計(jì)算|MN|，即可得出結(jié)論；
（3）求出m，n，表示出

m

n

+

n

m

，分類討論，利用基本不等式求最大值，從而可得圓C的方程．

解答： 解：（1）拋物線x²=2y的頂點(diǎn)為

0，0

，準(zhǔn)線方程為y=-

1

2

，
∵圓C過定點(diǎn)A

0，1

，圓心C是拋物線的頂點(diǎn)，
∴圓的半徑等于1，圓C的方程為x²+y²=1．
∴弦長2

1-( 1 2 )2

=2×

3

2

=

3

…（4分）
（2）設(shè)圓心C

a， 1 2 a2

，則圓C的半徑r=

a2+( 1 2 a2-1)2

，
圓C的方程是為：(x-a)2+(y-

1

2

a2)2=a2+(

1

2

a2-1)2…（6分）
令y=0，得x²-2ax+a²-1=0，得x₁=a-1，x₂=a+1，∴|MN|=|x₂-x₁|=2是定值．…（8分）
（3）由（2）知，不妨設(shè)M

a-1，0

，N

a+1，0

，m=

x 2 1 +1

=

(a-1)2+1

=

a2+2-2a

，n=

x22+1

=

(a+1)2+1

=

a2+2+2a

．

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

．…（11分）
當(dāng)a=0時(shí)，

m

n

+

n

m

=2．…（12分）
當(dāng)a≠0時(shí)，

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)a=±

2

時(shí)，等號(hào)成立…（14分）
所以當(dāng)a=±

2

時(shí)，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

，此時(shí)圓C的方程為(x±

2

)2+(y-1)2=2．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．