Question

已知二項式(

x

-

1

3 x

)5展開式中的常數(shù)項為p，且函數(shù)f(x)=

1-x2 ，-1≤x≤0 3x2- p 10 ，0＜x≤1

，則

∫

1 -1

f(x)dx=

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用二項式展開式定理的知識先求出p，然后利用分段函數(shù)的積分公式求積分即可．

解答： 解：二項式(

x

-

1

3 x

)5展開式的通項公式為Tk+1=

C

k 5

(

x

)5-k•(-

1

3 x

)k=

C

k 5

(-1)k•x

5-k

2

-

k

3

，
令

5-k

2

-

k

3

=0，即5k=15，
解得k=3，
∴常數(shù)項p=

C

3 5

×(-1)3=-10，
∴則

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx，
∵

∫

0 -1

1-x2

dx的幾何意義為半徑為1的圓的面積的

1

4

，
∴

∫

0 -1

1-x2

dx=

1

4

•π，
∴

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx=

π

4

+（x³+x）|

1 0

=

π

4

+1+1=2+

π

4

，
故答案為：2+

π

4

．

點評：本題主要考查二項式定義的應(yīng)用，積分的計算，要求熟練掌握積分的幾何意義以及常見函數(shù)的積分公式，考查學(xué)生的運算能力．