Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+bn（b為常數(shù)），且對(duì)于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)S_n=n²+bn，利用a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合對(duì)于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，根據(jù)T_n＜

3

13

，即可求得n最大值．

解答： 解：（1）∵a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-（n-1）²-b（n-1）=2n+b-1，（n≥2）
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1+b，
∴a_n=2n+b-1．
由a_k，a_2k，a_4k成等比數(shù)列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化簡(jiǎn)得：2k（b-1）=0，
∵對(duì)于任意的k∈N^*恒成立，
∴b=1，∴a_n=2n；
（2）

1

anan+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

），
∴T_n＜

3

13

成立，即

1

4

（1-

1

n+1

）＜

3

13

，
∴n＜12，
∴使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值為11．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是利用a_n=S_n-S_n-1，求通項(xiàng)．