已知函數(shù)f(x)=ax-1n(1+x2)(a>0).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0時(shí),1n(1+x2)<x;
(Ⅲ)證明:(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)<e(n∈N*,n≥2,其中無理數(shù)e=2.71828…)
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由f(x)=a-
2x
1+x2
=
ax2-2x+a
1+x2
,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)令g(x)=x-ln(1+x2),得g(x)=1-
2x
1+x2
=
(x-1)2
1+x2
≥0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x>0時(shí),1n(1+x2)<x.
(Ⅲ)ln(1+x2)<x,利用累加法能證明(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)<e(n∈N*,n≥2).
解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=a-
2x
1+x2
=
ax2-2x+a
1+x2

∵a>0,當(dāng)△>0,即0<a<1時(shí),
方程ax2-2x+a=0有兩個(gè)不等正根
1-
1-a2
a
1+
1-a2
a
,
∴由f′(x)>0,得x<
1-
1-a2
a
,或x>
1+
1-a2
a
,
由f′(x)<0,得
1-
1-a2
a
<x<
1+
1-a2
a

當(dāng)△≤0,即a≥1時(shí),ax2-2x+a≥0恒成立,
綜上,0<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,
1-
1-a2
a
),(
1+
1-a2
a
,+∞
),
單調(diào)遞減區(qū)間是(
1-
1-a2
a
,
1+
1-a2
a
).
a>1時(shí),函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)遞地函數(shù),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.
(Ⅱ)證明:令g(x)=x-ln(1+x2),得g(x)=1-
2x
1+x2
=
(x-1)2
1+x2
≥0,
x=1時(shí),g′(x)=0,
∴g(x)在(0,1)及(1,+∞)均單調(diào)遞增,
考慮到g(x)在x=1處有意義,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故g(x)>g(0)=0,
∴當(dāng)x>0時(shí),1n(1+x2)<x.
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ),ln(1+x2)<x,
對(duì)x=
1
22
、
1
32
、…、
1
n2
代入相加,得:
ln(1+
1
24
)+ln(1+
1
34
)+…+
ln(1+x2)<
1
22
+
1
32
+…+
1
n2

1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n

=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)

=1-
1
n
<1,
∴(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)<e(n∈N*,n≥2).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論,考查不等式的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意累加法、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+bx+c,且f(x)在x=1處取得極值.
(1)求b值;
(2)若當(dāng)x∈[-1,
9
4
],f(x)<c2-
7
6
恒成立,求c的取值范圍.

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已知定義域?yàn)閤∈[0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;          
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值;
(3)若對(duì)于任意x∈[0,1],總有a>[f(x)]2+f(x)+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)+ax2
(Ⅰ)當(dāng)a=-
1
2
時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=
1
3x-1
+a(a≠0)為奇函數(shù),求方程f(x)=
5
6
的解.

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已知f(x)=
1
2x-1
+
1
2

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(2)證明f(x)是奇函數(shù).

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有窮等差數(shù)列{an}共n項(xiàng),它的前三項(xiàng)和為48,后三項(xiàng)和為72,若Sn=80,則n=
 

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等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為26,最后4項(xiàng)和為110,且所有項(xiàng)之和為187,則此數(shù)列共有
 
項(xiàng).

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在等差數(shù)列{an}中,a3+a7-a10=8,a4-a11=-14.記Sn=a1+a2+a3+…+an,則S13=
 

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