Question

居住在同一個小區(qū)的甲、乙、丙三位教師家離學(xué)校都較遠(yuǎn)，每天早上要開車去學(xué)校上班，已知從該小區(qū)到學(xué)校有兩條路線，走線路①堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

；走線路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p．若甲、乙兩人走線路①，丙老師因其他原因走線路②，且三人上班是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率為

7

16

，求走線路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三人中被堵的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

，由此能求出走線路②堵車的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出三人中被堵的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

．…（3分）
即3p=1，解得p=

1

3

．
答：p的值為

1

3

，即走線路②堵車的概率為

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3 …（6分）
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

，
P（ξ=1）=

7

16

，
P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

，…（8分）
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 8	7 16	1 6	1 48

…（10分）
所以Eξ=0×

3

8

+1×

7

16

+2×

1

6

+3×

1

48

=

5

6

．
答：三人中被堵的人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為

5

6

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．