已知函數(shù)f（x）=m（x-
1
x
）+2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）求切線方程，利用導數(shù)求出方程的斜率，然后利用點斜式求得；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)與0的關系，因為含有參數(shù)m，需要進行分類討論．
解答： 解：（Ⅰ）當m=1時，函數(shù)f(x)=x-
1
x
+2lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=
x2+2x+1
x2
，
∴f（1）=0，k=f'（1）=4，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-4=0，
（Ⅱ）∵f（x）=m（x-
1
x
）+2lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=
mx2+2x+m
x2

（1）當m≥0時，f'（x）＞0在x∈（0，+∞）時恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當m＜0時，
①當m≤-1時，f'（x）≤0在x∈（0，+∞）時恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
②當-1＜m＜0時，由f'（x）=0得x1=
-1+
1-m2
m
，x2=
-1-
1-m2
m
，且0＜x1＜x2，
x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） 減 增 減
∴f（x）在(0，
-1+
1-m2
m
)和(
-1-
1-m2
m
，+∞)上單調(diào)遞減，
f（x）在(
-1+
1-m2
m
，
-1-
1-m2
m
)上單調(diào)遞增．
點評：綜合考查導數(shù)的應用，分類討論思想，中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三棱臺ABC-A′B′C′的上、下底面均為正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且上、下底面的邊長比為2：3，分別過AB′、B′C和B′C、A′C作截面，把這個三棱臺分成三個棱錐，則這三個棱錐的體積比為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≥M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“圓錐托底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x3是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說明理由．
（2）若f（x）=x2+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值．
（3）問實數(shù)k、b滿足什么條件，f（x）=kx+b是“圓錐托底型”函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的平均值；
（注：設樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為pi，第i組區(qū)間的中點值為xi（i=1，2，3，…，n），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為
.
X
=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．）
（3）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目投資十萬元，一年可進行四次獨立重復的投資（即甲項目的投資周期為3個月）每次成功的概率均為
1
4
，若成功一次，可得利潤1萬元，若失敗，則利潤為0，投資要么成功，要么失敗．已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關，在每次調(diào)整中價格下降的概率都是p（0＜p＜1），記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行兩次獨立的調(diào)整，設乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ，對乙項目每投資十萬元，ξ取0、1、2時，一年后相應利潤是1.4萬元、1.1萬元、0.4萬元，隨機變量ξ1、ξ2分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤．
（Ⅰ）求ξ1、ξ2的概率分布列和數(shù)學期望E（ξ1）、E（ξ2）；
（Ⅱ）當E（ξ1）＜E（ξ2）時，求實數(shù)p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，
p
=（a+c，b），
q
=（c-a，b-c），且
p
⊥
q
，
（1）求∠A的大小；
（2）若∠B=
π
4
，求
a-b
a+b
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8個球隊中有甲、乙、丙3個強隊．任意將這8個隊分成A、B兩組（每組4個隊）進行比賽．
（1）共有多少種分法？
（2）求至少有兩個強隊分在A組中的概率；
（3）求甲、乙兩隊不分在同一組的概率；
（4）設強隊分在同一組的隊數(shù)為ξ，求ξ的期望值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

居住在同一個小區(qū)的甲、乙、丙三位教師家離學校都較遠，每天早上要開車去學校上班，已知從該小區(qū)到學校有兩條路線，走線路①堵車的概率為
1
4
，不堵車的概率為
3
4
；走線路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p．若甲、乙兩人走線路①，丙老師因其他原因走線路②，且三人上班是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率為
7
16
，求走線路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三人中被堵的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=loga（a2x）•loga2（ax），當x∈[2，4]時，y的取值范圍是[-
1
8
，0]，求實數(shù)a的值．

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