Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a2x-(t-1)

ax

（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的反函數(shù)過點(diǎn)(

3

2

，1)，是否存在正數(shù)m，且m≠1使函數(shù)g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂3]上的最大值為0，若存在求出m的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),反函數(shù),函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f（0）=0，即可求得t的值；
（2）由（1）可以得到f（x）的解析式，根據(jù)f（1）＞0，確定a＞1，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用f（x）的單調(diào)性和奇偶性，將不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得k的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的反函數(shù)過點(diǎn)(

3

2

，1)，求出a，從而得到g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，則t∈[

3

2

，

8

3

]，記h（t）=t²-mt+2，對底數(shù)m進(jìn)行分類討論，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將g（x）的最大值轉(zhuǎn)化為h（t）的最小值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于m的方程，求出m，當(dāng)m＞1時(shí)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將g（x）的最大值轉(zhuǎn)化為h（t）的最小值，再根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分別求解h（t）的最大值和最小值，根據(jù)題意進(jìn)行求解m的值，最后判斷所求m的值是否符合題意，從而得到答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a2x-(t-1)

ax

（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

a0-(t-1)

a0

=0，
∴t=2；
（2）由（1）可知，t=2，
∴f（x）=

a2x-1

ax

，
∵f（1）＞0，
∴

a2-1

a

＞0，即

(a+1)(a-1)

a

＞0，
又∵a＞0，
∴a＞1，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴-f（x-1）=f（1-x），
∴不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立，即f（kx-x²）＜f（1-x）對一切x∈R恒成立，
∵a＞1，則y=a^x在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）=

a2x-1

ax

=ax-

1

ax

在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴kx-x²＜1-x對一切x∈R恒成立，即x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，
∴△=（k+1）²-4＜0，即k²+2k-3＜0，
∴-3＜k＜1，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為-3＜k＜1；
（3）假設(shè)存在正數(shù)m，且m≠1符合題意，
∵函數(shù)f（x）的反函數(shù)過點(diǎn)（

3

2

，1），
∴

3

2

=

a2-1

a

，
∴a=-

1

2

或a=2，
∵a＞0，
∴a=2，
∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]，
∴g（x）=log_m [(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，
令t=2^x-2^-x，
∴（2^x-2^-x）-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log23]，
∴t∈[

3

2

，

8

3

]，
記h（t）=t²-mt+2，
∵函數(shù)g（x）=log_m [a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂³]上的最大值為0，
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，y=log_mh（t）是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴函數(shù)h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最小值1，
∵對稱軸t=

m

2

＜

1

2

，
∴函數(shù)h（t）在[

3

2

，

8

3

]上單調(diào)遞增，
∴h（t）_min=h（

3

2

）=

17

4

-

3

2

m=1，
∴m=

13

6

，
∵0＜m＜1，
∴m=

13

6

不符合題意；
②當(dāng)m＞1時(shí)，則函數(shù)h（t）＞0在[

3

2

，

8

3

]上恒成立，且最大值為1，最小值大于0，
∵函數(shù)h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最大值1，h（t）的對稱軸為x=

m

2

，
（i）當(dāng)

m

2

＜

25

12

，即m＜

25

6

時(shí)，
當(dāng)t=

8

3

時(shí)，h（t）取得最大值h（

8

3

）=

82

9

-

8m

3

=1，
∴m=

73

24

，
又∵

m

2

=

73

48

∈[

3

2

，

8

3

]，
∴當(dāng)t=

73

48

時(shí)，h（t）取得最小值h（

73

48

）＜0，
∴g（x）在[1，log₂³]無意義，
∴m=

73

24

不符合題意；
（ii）當(dāng)

m

2

≥

25

12

，即m≥

25

6

時(shí)，
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h（t）取得最大值h（

3

2

）=

17

4

-

3m

2

=1，
∴m=

13

6

，
∵m≥

25

6

，
∴m=

13

6

不符合題意．
綜上所述，不存在正數(shù)m，使函數(shù)g（x）在[1，log₂³]上的最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，反函數(shù)，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)最值的應(yīng)用．利用f（0）=0，是解決本題的關(guān)鍵．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于難題．