【題目】我們稱一個(gè)非負(fù)整數(shù)集合（非空）為好集合,若對任意,或者,或者.以下記為的元素個(gè)數(shù).

（Ⅰ）給出所有的元素均小于的好集合;（給出結(jié)論即可）

（Ⅱ）求出所有滿足的好集合;（同時(shí)說明理由）

（Ⅲ）若好集合滿足,求證: 中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析;.（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到集合為；（2）設(shè),其中,則由題意: ,故,即，根據(jù)題干中的條件限制元素特性，進(jìn)而找到滿足條件的好集合；（3）通過歸納可得到結(jié)果.

解析：

（Ⅰ）.

（Ⅱ）設(shè),其中,則由題意: ,故,即.

考慮,可知,所以或.

若,則考慮,由于,所以,因此.

所以.但此時(shí)考慮,但,不滿足題意.

若,此時(shí)滿足題意.

所以,其中為相異正整數(shù).

（Ⅲ）記,則.

首先, .設(shè),其中.

分別考慮和其他任一元素,由題意可得也在中.

而,

所以,所以.

對于,考慮,其和大于,故其差.

特別的, ,所以.

由,且,所以,

通過歸納可得: .

所以,此時(shí).得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過任作一條與坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與交于兩點(diǎn)，且的周長為．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，與軸垂直

（1）求橢圓的方程

（2）若是該橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，求的值；

（3）設(shè)為定點(diǎn)，直線過點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)（，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（ ）

A.函數(shù)的最小正周期是2π

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱

C.函數(shù)在單調(diào)遞增

D.將函數(shù)的圖象向左平移后得到的關(guān)于y軸對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新冠肺炎疫情期間，為了減少外出聚集，“線上買菜”受追捧.某電商平臺在地區(qū)隨機(jī)抽取了位居民進(jìn)行調(diào)研，獲得了他們每個(gè)人近七天“線上買菜”消費(fèi)總金額（單位：元），整理得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）從“線上買菜”消費(fèi)總金額不低于元的被調(diào)研居民中，隨機(jī)抽取位給予獎品，求這位“線上買菜”消費(fèi)總金額均低于元的概率；

（3）若地區(qū)有萬居民，該平臺為了促進(jìn)消費(fèi)，擬對消費(fèi)總金額不到平均水平一半的居民投放每人元的電子補(bǔ)貼.假設(shè)每組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試根據(jù)上述頻率分布直方圖，估計(jì)該平臺在地區(qū)擬投放的電子補(bǔ)貼總金額.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某單位45名職工中隨機(jī)抽取5名職工參加一項(xiàng)社區(qū)服務(wù)活動，用隨機(jī)數(shù)法確定這5名職工現(xiàn)將隨機(jī)數(shù)表摘錄部分如下：

從隨機(jī)數(shù)表第一行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)職工的編號為

A.23B.37C.35D.17

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心，且點(diǎn)到該圖象的對稱軸的距離的最小值為.

①的最小正周期是；

②的值域?yàn)?/span>；

③的初相為；

④在上單調(diào)遞增.

以上說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，線段的中垂線與線段交于點(diǎn).

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)（其中不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三角形內(nèi)，我們將三條邊的中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心，且重心到任一頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的兩倍類比上述結(jié)論：在三棱錐中，我們將頂點(diǎn)與對面重心的連線段稱為三棱錐的“中線”，將三棱錐四條中線的交點(diǎn)稱為它的“重心”，則棱錐重心到頂點(diǎn)的距離是到對面重心距離的______倍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)曲線的一個(gè)焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于，直線交拋物線于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，可得，所以，即拋物線的方程為；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），可設(shè)，得，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得，直線的方程為，整理得的方程為，此時(shí)直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）由曲線，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得， 所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知，所以，即拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，顯然.故，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得

①當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，

②當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，整理得的方程為，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)， 也在直線的方程為上，故直線的方程恒過定點(diǎn).

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足， ，記的前項(xiàng)和為，求證： .

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