Question

設橢圓的方程為E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率為1的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點．
（1）問：直線OM與AB能否垂直？若能，求a，b之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知M為ON的中點，且N點在橢圓上．若∠OAN=

π

2

，求a，b之間滿足的關系式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意設出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B兩點橫坐標的和與積，由中點坐標公式求得M的坐標，再由AB和OM的斜率之間的關系求得a=b，得到矛盾，說明直線OM與AB不能垂直；
（2）由轉化思想方法，得到四邊形OANB為矩形，則

OA

•

OB

=0，代入坐標后展開，進一步轉化為關于A，B兩點坐標間的關系，結合根與系數(shù)關系得到a，b之間滿足的關系式．

解答： 解：（1）∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，
∴可以設直線AB的方程為y=x+m，m≠0．
∵

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+m

，
∴b²x²+a²（x+m）²-a²b²=0，
∴（a²+b²）x²+2ma²x+m²a²-a²b²=0．
∵直線AB與橢圓相交于A，B兩點，
∴△=（2ma²）²-4（a²+b²）（m²a²-a²b²）
=4[m²a⁴-（m²a⁴+m²a²b²-a⁴b²-a²b⁴）]
=4[a⁴b²+a²b⁴-m²a²b²]=4a²b²（a²+b²-m²）＞0．
且xA+xB=-

2ma2

a2+b2

，xAxB=

m2a2-a2b2

a2+b2

．
∵M為線段AB的中點，
∴xM=

xA+xB

2

=-

ma2

a2+b2

，
∴yM=xM+m=-

ma2

a2+b2

+m=m

b2

a2+b2

，
∴M(-

ma2

a2+b2

，

mb2

a2+b2

)．
假設直線OM與AB能垂直．
∵直線AB的斜率為1，
∴直線OM的斜率為-1，
∴

mb2

a2+b2

=-(-

ma2

a2+b2

)，
∴a=b．
∵在橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a＞b，
∴假設不正確，即在橢圓中直線OM與AB不能垂直；
（2）∵M為ON的中點，M為AB的中點，
∴四邊形OANB為平行四邊形．
∵∠OAN=

π

2

，
∴四邊形OANB為矩形，
∴∠AOB=

π

2

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0，x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，
∴2xAxB+m(xA+xB)+m2=0，
∴2

m2a2-a2b2

a2+b2

+m(-

2ma2

a2+b2

)+m2=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²．
∵N點在橢圓上，
∴

b2(-2ma2)2

(a2+b2)2

+

a2(2mb2)2

(a2+b2)2

=a2b2，
∴4m²=a²+b²．此時a²+b²-m²=3m²＞0，滿足△＞0，
消去m²得（a²+b²）²=8a²b²，
即a⁴+b⁴-6a²b²=0．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，該題體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．